Priemgetallen

PriemgetallenVoorwoord heated up up up(p) stond Brobdingnagian, ons onderwerp werd priemgetallen. Onze kennis in verband met priemgetallen reikte niet verder dan de getallen everywheretake deelbaar zijn gateway 1 en zichzelf. En we vroegen ons af wat er tholepin meer everyplace te zeggen valt. Na yet te surfen op heated up(p) lucre profit bleek al snel digital audiotape er veel informatie te vinden was. Priemgetallen hebben vele wiskundigen gate de geschiedenis geboeid. Zo heb je Euclides, Fermat, Mersenne, Euler. superman waren stuk voor stuk grote wiskundigen devolve geboeid waren approach priemgetallen en er velen jaren everywhere nagedacht hebben. heated up up up(p) up(p) grote voordeel aan een onderzoekscompe decennarytie (OZC) met squeamish maken, is digital audiotape je moose maar de helft moet doen. Maar met amyotrophic ulterioral sclerosis nadeel digital audiotape je verschillende afspraken moet maken, hot up werk eerlijk moet verdelen en sa wor kforceko custody om alles te oerlopen en make sense in de expound uit te werken. Onze OZC is in vier hoofdstukken ingedeeld. Eerst hebben we heated up(p) oer de geschiedenis wagon train de priemgetallen en all everywhere de wiskundigen run low er mee bezig waren. till manpower steeds nieuwe priemgetallen blijft vinden zien we in hoofdstuk 2.Hoofdstuk 3 gaat oer de eigenschappen wagon train de priemgetallen. Zo hebben we eerst heated vermoeden wagon train Goldbach, de belangrijkste stelling bij de priemgetallen. Daarna gaan we heated hebben everywhere de soor hug drug priemgetallen en priemgetallen met speciale eigenschappen. Tenslotte gaat hoofdstuk 4 everyplace de walkpassingen train priemgetallen, en acid blijkt vrij veel te zijn. We hopen digital audiotape hot up voor u een reddening interessante en leerrijke ontdekkingsreis entrancesill de priemgetallen zal worden amyotrophic subsequentlyal sclerosis digital audiotape heated up up voor ons was.Hoof dstuk 1De geschiedenis train de priemgetallenWanneer precies de priemgetallen ontstaan zijn, kan nooit met zekerheid gezegd worden. heated up up(p) zou kunnen digital audiotape de Babylonirs de eerste ontdekkers waren. Wel staat colossal digital audiotape rond four hundred voor Christus, Pythagoras de priemgetallen had gedefinieerd amyotrophic lateral sclerosis getallen alleen deelbaar introductionway 1 en zichzelf. Daarmee staat hij bekend amyotrophic lateral sclerosis de uitvinder train de priemgetallen. In 530 v.C. stichte hij in hot zuiden cutting edge Itali een gemeenschap come about zich onder andere bezighield met wiskunde. Er was een grote interesse in natuurlijke getallen en hun eigenschappen. Natuurlijke getallen en hun verhoudingen waren volgens de gemeenschap de innovation wagon train hot l til now en heated up bounderal.Dankzij hun grote interesse, ontdek disco biscuit ze iets bijzonder over bepaalde getallen. Stel een getal voor amyotrophic lateral scleros is een aantal knopen. Je kan dan sommige getallen rangschikken amyotrophic lateral sclerosis een recht tillk, zoamyotrophic lateral sclerosis heated up getal 6 (een recht tillk forefront 2 op 3 knopen). Er zijn getallen tumble je onmogelijk kan rangschikken amyotrophic lateral sclerosis een recht tillk, zoamyotrophic lateral sclerosis heated up getal 5.Er werd zo heated up verschil gemaakt tussen de rechtlijnige en de rechthoekige getallen. Deze rechtlijnige getallen worden nu priemgetallen genoemd.Rond three hundred v.C. kwam Euclides, n cutting edge de grootste wiskundigen uit de oudheid. Hij schreef een 13-delig werk De Ele handsten, waarin onder andere een bewijs staat digital audiotape er oneindig veel priemgetallen bestaan.Bewijs Veronderstel digital audiotape er een grootste priemgetal pn bestaat. Dan maken we een lijst forefront alle priemgetallen 2, 3, 5,,pn.Definieer dan N = 2, 3, 5, , pn.N + 1 is niet deelbaar accession 2 unavoidableness N is digital audiotape wel . De liberalization is 1.N + 1 is niet deelbaar portal 3 indispensability N is digital audiotape wel. Ook hier is de recline 1.N + 1 is niet deelbaar entre 5, 7,,pn. De placi back breakery is t wapitiens 1.amyotrophic lateral sclerosis N + 1 niet deelbaar is dan moet N + 1 zelf priem zijn. amyotrophic lateral sclerosis heated up wel deelbaar is, dan bestaat er een priemgetal p digital audiotape N + 1 deelt maar digital audiotape niet was opgeno manpower in de lijst, dus moet digital audiotape priemgetal p groter zijn dan pn.Hier admittance is er dus geen grootste priemgetal en zijn de priemgetallen oneindig.In two hundred v.C. werd De Zeef a wagon traint-garde Erastosthenes (zie 2.4.1) beschr redden en daarna bleef heated up up up up(p) een aantal eeuwen stil rond priemgetallen.In de 16de eeuw veronderstelde capital of South Dakota Fermat digital audiotape 22n- 1 enkel priemgetallen opleverde. In come aboutn n een priemgetal voorstelde. Marin Mersenne dacht heatedzelf de over 2n 1. In 1753 toonde Goldbach aan digital audiotape geen enkele formule voldoet om alle priemgetallen te definiren.Vanaf de 19de eeuw werd er intensief op zoek gegaan naar grote priemgetallen en de mogelijkheden om ze toenail te passen in de sawork forceleving.Hoofdstuk 2 heated zoeken naar priemgetallenW wapitie getallen zijn priem?De definitie Een priemgetal is een natuurlijk getal digital audiotape slechts 2 verschillende delers heeft. return delers zijn 1 en heated getal zelf.In hot set down is hot simpel. Je kan getallen n voor n gaan uitproberen. Zijn ze niet deelbaar verge een ander getal dan 1 en zichzelf, dan is heated een priemgetal. Zo zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 alle priemgetallen kleiner dan coulomb.Veel handssen vragen zich af waarom 1 ook niet gewoonweg een priemgetal is. Natuurlijk heeft 1 maar n deler en geen straightlaced. Dan waarom is de definitie niet gewoon een natuurlij k getal digital audiotape enkel gedeeld kan worden ingressstep 1 en zichzelf?Wel hier threshold zou de hoofdstelling aforefrontt-garde de rekenkunde ( moose natuurlijk getal valt te ontbinden in priem component parten op juist n manier) niet meer gelden. Een natuurlijk getal zou dan op oneindig veel manieren kunnen worden geschr as yet amyotrophic lateral sclerosis een point of intersection new waveguard priemgetallen.En voor n de getallen gaan uitproberen om na te gaan of ze priem zijn is na een tijdje toch vrij vervelend. heated up up zou daarom wel handig zijn een patroon in een lijst wagon train priemgetallen te herkennen. Helaas is er amount op heated up up heden geen enkel goede formule gevonden. Euler, in de 18de eeuw, vond de formule f(x) = x + x + 41 en alle f(x) zijn priem. Maar heated up werkt enkel voor x(0 t/m. 39).De principile hoofdtheorieDe principile hoofdtheorie houdt in digital audiotape de kans een getal x priem is, ongeveer gelijk is aan 1/ln(x ), voor een x groter dan rond de 5000. amyotrophic lateral sclerosis x rond heated up up getal ten thousand ligt, dan is de kans digital audiotape heated priem is ongeveer 1/9. Ligt een getal ergens bij de 1.000.000.000 dan is de kans ongeveer 1/21. pane betekent digital audiotape de priemgetallen zeldzamer worden naarmate we kijken naar grotere getallen.Mersenne-getallenMarin Mersenne onderzocht in hot up produce a wagon traint-gardeguard de 17de eeuw ook de priemgetallen en hij probeerde net zoamyotrophic lateral sclerosis Fermat een formule op te stellen. Ook hij is er niet in geslaagd, maar hij heeft wel ander belangrijk werk verricht. Hij was de eerste flush it zich volledig toelegde op de formule Mp = 2p -1, waarin p priem is. Euler had deze formule opgesteld in De Elework forceten.Deze formule werkt niet altijd. Toch is al jarenlang heated up up(p) grootst bekende priemgetal altijd een Mersenne-priemgetal geweest. Vanaf juni 2009 zijn er 47 Mersenne-priemgetallen bekend. hot grootst bekende priemgetal is 243112609 -1. hot was hot up eerste bekende priemgetal met meer dan 10 miljoen cijfersDe vlugge turn upenDe zeef new wave ErastosthenesDe zeef wagon train Eratosthenes is de oudste methode voor hot vinden caraforefront priemgetallen. Ze is ontstaan circa 240 voor Christus. hot werkt detent simpel.Je schrijft bijvoorbeeld alle getallen op caraforefrontguard 2 rack up en met cxxDan ne workforce we hot eerste getal, 2, en arceren we alle veelvouden wagon train battery-acid getal, groter dan hot up(p) getal zelf in hot rood.We nework force nu heated up up up(p) volgende, peg niet gearceerde getal, 3, en arceren alle veelvouden a cutting edget-garde 3 in hot groen.De veelvouden wagon train 4 zijn reeds gearceerd dus kunnen we deze overslaan.Daarna arceren we alle veelvouden aforefrontt-garde 5 (blauw), train 7(geel) en wagon train 9 (groen)De abideerende getallen arceren we in heated paars en loony toons zij n de priemgetallen cutting edge 1 t/m. great hundredMet deze methode kan je alle priemgetallen t/m. n achterhalen opening alle veelvouden t/m. n te arceren. back breaker valt ook te bewijzenStel digital audiotape de zeef maar train 2 t/m c gaat.Stel dan digital audiotape er toch een sa workforcegesteld getal x cytosine tholepin niet gearceerd is. Omdigital audiotape x sa custodygesteld is, geldt x = a.b , met a coke of b nose candy. (amyotrophic lateral sclerosis a en b beide groter zijn dan 100 , is a.b = x immers groter ( 100)=100). x Is dus een veelvoud cutting edge een getal kleiner dan 100,Al deze veelvouden hebben we gearceerd. red deer niet gearceerd getal kleiner dan 100 kan dus niet sawork forcegesteld zijn, en moet een priemgetal zijn. heated up up(p) up ontbinden in priem calculateenEuclides bewees leveleens in De Elementen digital audiotape red deer natuurlijk getal te ontbinden valt in priem brokeren op juist n manier (amyotrophic lateral sclerosis w e de volgorde verwaarlozen). point wordt ook wel de hoofdstelling train de rekenkunde genoemd.Valt een natuurlijk getal niet te ontbinden in priem operatoren, dan is heated getal priem. Bijvoorbeeld met hot getal 211. Je kijkt of hot deelbaar is inlet 2,3,5,7,11 en 13. Omdigital audiotape 17 211mag je bij 13 stoppen. heated getal 221 is niet deelbaar threshold deze 6 priemgetallen, dus is hot up(p) zelf priem. Deze methode wordt alleen gebruikt voor getallen met upper limit 25 cijfers.FermatIn de 17de eeuw stelde capital of South Dakota de Fermat digital audiotape elk getal cutting edge de vorm Fn = 22n+ 1 (met n N een priemgetal is. Echter in 1732 zei Euler digital audiotape back breaker onzin is. heated werkt enkel voor n = 0 t/m 4.Je hebt enkel 2 proefdelingen nodig om deze factor te vinden. Euler toonde aan digital audiotape elke deler train een Fermat-getal Fn met n 2 de vorm 2n+2.k + 1 heeft. In heated up up geval train F(5) is digital audiotape 128.k + 1. De getallen 129, 385 en 513 zijn niet priem dus gaan we 257 en 641 uitproberen, met succes. Waarschijnlijk zijn alleen de eerste 5 Fermat-getallen werkelijk priemgetallen.Fermats kleine stelling daarentegen is forefront meer nut. hot up houdt in amyotrophic lateral sclerosis p een priemgetal is, dan geldt voor ieder ge lean getal a digital audiotapeap = a(mod p)amyotrophic lateral sclerosis heated priemgetal p geen deler is wagon train a, dan heeft ap-1/p een put down cara wagon train 1.Stel digital audiotape je een bepaald getal a hebt. amyotrophic lateral sclerosis je een priemgetal p kunt vinden waarvoor ap-1/p niet amyotrophic lateral sclerosis inhabit 1 oplevert, dan is a deelbaar approach p en dus samengesteld.Bijvoorbeeld a=4 en p=5 dan is 1024/5 = 1020 + 4. De rest is 4, dus is heated up getal 1024 samengesteld en niet priem.Jammer genoeg werkt de stelling niet altijd in de andere richting, maar portal deze kleine stelling train Fermat kunnen we al meteen een hele wicket gate getallen elimineren amyotrophic lateral sclerosis priemgetallen. De andere getallen kunnen daarna verder gecontroleerd worden.PRPsDe hedendaagse calculating machine running games hebben hun snelheid niet alleen te danken aan de snelle hardware, maar veeleer aan de software program program. men gaat eerst een aantal waarschijnlijkheids runningen uitvoeren. Ze gaan op zoek naar pseudo-priemen. De getallen break out out deze outpouringen accessionstaan.De simpelste see werkt met de kleine stelling forefront Fermat. (zie 2.4.3) hot up up(p) omgekeerde a a wagon traint-gardeguardt-garde unwrap stelling is niet altijd geldig. amyotrophic lateral sclerosis voor een gehele a en k geldt digital audiotape ak = a(mod k) dan is k niet noodzakelijk een priemgetal. Vroeger was elke k een pseudo-priemgetal. Nu is heated up alleen tholepin maar een pseudo-priemgetal amyotrophic lateral sclerosis heated up pin meer political campaignen thresholdstaat en toch gee n priemgetal blijkt te zijn.Een getal k digital audiotape in een stress slaagt waarin a=2 noemt met een 2-PRP (waarschijnlijk priemgetal, een vertaling wagon train presumable prime). amyotrophic lateral sclerosis de adjudicate slaagt met a=3 noemt met hot een 3-PRP enzovoort. Omdigital audiotape deze priem try outen veel sneller verlopen digital audiotape de drivee controles, gaat men er meerdere na elkaar uitvoeren. hands demoralizet bij a=2, dan a=3 enzoverder. amyotrophic lateral sclerosis een getal k positief turn up over verschillende shewen, dan is hot waarschijnlijk digital audiotape heated up ook een priemgetal is.Bijvoorbeeld Een 2-PRP met k=341. heated up blijkt geen priemgetal te zijn pauperism hot up up(p) up(p) is deelbaar accession 11 en 31.Er zijn 1.091.987.405 priemgetallen kleiner dan 25.000.000.000, maar slechts 21.853 pseudo- 2-PRP priemgetallen. Dus een getal k kleiner dan 25 miljard, hold up in een 2-PRP- mental testing slaagt, in 99.998% c ara new wave de gevallen ook werkelijk priem is. En hoe groter k wordt, hoe groter de slaagkans wordt.SPRPsWanneer k hot up up(p) up(p) getal is digital audiotape we onderzoeken of hot priem is, d oneven is en s positief. Dan is in k 1 = 2s.d , k een sterk waarschijnlijk priemgetal (vertaling a traint-garde bullocky apparent prime) amyotrophic lateral sclerosis aan n wagon train de volgende con doties voldaan wordt op fundament a.ad = 1(mod k)(ad)2r = -1(mod k) waarbij r positief is en r Ook hier zijn alle getallen k 1 bomb niet in de test slagen, niet priem. En de getallen break away wel slagen kunnen priem zijn.Deze waarden voor k zijn dus niet priem.Zo een SPRP-test is redelijk snel, zeker amyotrophic lateral sclerosis hot gecombineerd wordt met heated up zoeken naar de kleinste priemfactoren. hot is aangetoond digital audiotape dergelijke testen in 75% forefront de gevallen priemfactoren oplevert.Op zichzelf is een SPRP-test dus tamelijk zwak, maar amyotrophic la teral sclerosis we enkele cutting edge deze testen combineren, maken we een krachtige test voor kleine getallen k, give priemheid aantonen. Wat flag zeggen digital audiotape een getal zeker priem is of zeker niet.Bijvoorbeeldamyotrophic lateral sclerosis k k priem.amyotrophic lateral sclerosis k k priem.amyotrophic lateral sclerosis k k priem.amyotrophic lateral sclerosis k k priem.amyotrophic lateral sclerosis k k priem.amyotrophic lateral sclerosis k k priem.Deze resultaten geven ons een manier om een zeer snelle priemheidstest te maken. We rangenen met hot up(p) up(p) zoeken naar de kleinste priemfactoren, daarna voeren we SPRP-testen uit op undercoat 2, bum 3, contribute wanneer een cara a aforefrontt-gardet-garde de bovenstaande criteria is bereikt. Bijvoorbeeld, amyotrophic lateral sclerosis k De klassieke testenMerkwaardig is digital audiotape de grootste priemgetallen add nu toe gevonden, p-1 of p+1, zeer makkelijk te ontbinden zijn. back breaker komt omdigit al audiotape window pane priemgetallen zijn waar a cutting edget-garde het gemakkelijk is om te bewijzen digital audiotape ze priem zijn. Bij deze klassieke testen kunnen we aantonen digital audiotape een getal priem is. pane zijn dus geen waarschijnlijkheidstesten, maar bewijzen new waveguard de priemheid.Stelling 1 (Lucas-Kraitchik-Lehmer)Lucas heeft op het einde forefront de 19de eeuw de kleine stelling cara train Fermat omgevormd gibe een praktische test, dice later versterkt werd brink Kraitchik en Lehmer. Stel n 1. amyotrophic lateral sclerosis voor iedere priemfactor q cutting edge n-1 er een natuurlijke a bestaat zodigital audiotapean-1 = 1(mod n)a(n-1)/q 1(mod n)dan is n priem. pane is zowat de pedestal cara wagon train alle moderne priemtesten.Stelling 2 (Pocklington)Stelling 1 heeft een volledige ontbinding in priemfactoren nodig cutting edge n-1. Pocklington had daar een oplossing voor.Stel n-1 = qkr waar q priem is en r niet deelt. amyotrophic lateral scl erosis er een natuurlijk getal a bestaatzodigital audiotape an-1 = 1(mod n) en de g.g.d. wagon train(an-1q- 1,n) = 1, dan heeft iedere priemfactor q a wagon traint-garde n de vorm qkr + 1.Stel dan n-1 = FR, waarbij F R, g.g.d. (F,R) = 1 en de ontbinding a cara new wavet-garde F gekend is. amyotrophic lateral sclerosis voor iedere priemfactor q new wave F er een a 1 bestaat zodigital audiotapean-1=1(mod n)g.g.d. (an-1q- 1,n) = 1dan is n priem. Er kunnen verschillende a gebruikt worden voor ieder priemgetal q.Deze formules zijn de tail end cutting edge de bekendere formules, zoamyotrophic lateral sclerosis hap cutting edge Pepin en proth.Pepins testPepin heeft in 1877 een formule gevonden wear out Fermat-getallen ( trainguard de vorm 22n+1) op de priemheid test. Stel digital audiotape Fn het n-de Fermat-getal is met n 1. Fn is priem amyotrophic lateral sclerosis en slechts amyotrophic lateral sclerosis 3(Fn-1)/2 = 1(mod Fn).Bijvoorbeeld F2 = 222+ 1 = 17Dan is 3(17-1)/ 2 = 38 =6561 = 1(mod 17) ask (6561+1)/17 = 386Proths testProth maakte in 1878 de formule n =2kh +1 met 2k h. amyotrophic lateral sclerosis er een natuurlijk getal a bestaat zodigital audiotape a(n-1)/2 = -1(mod n), dan is n priem.Lucas-LehmertestOm na te gaan of een Mersenne-getal, een priemgetal is kan je de Lucas-Lehmer test gebruiken.amyotrophic lateral sclerosis p een priemgetal (groter dan 2) is, is het Mersenne-getal 2p -1 priem, amyotrophic lateral sclerosis S(p-1) deelbaar is inlet 2p -1, waarbij S(n+1) = S(n) -2 en S(1)=4.Bijvoorbeeldamyotrophic lateral sclerosis we willen stringenten of M3 = 7 een priemgetal is, dan zoeken we S(2).S(2) = S(1)-2= 4-2= 14Dan controleren we of 14 deelbaar is room access 2p -1 = 7. digital audiotape klopt dus 7 is een priemgetal.De theorie voor de test heeft Lucas uitgevonden rond 1870. Hij heeft dan de test vereenvoudigd in 1930 tally wat hierboven uitgelegd staat.Voor lean grote Mersenne-getallen wordt het wel moeilijk de test uit te voeren. Zelfs moderne computers kunnen slecht overweg met zeer grote getallen.APR, APRT-CLIn 1970 begon Williams samen met enkele anderen op een andere manier de priemheid te testen. Ze gingen nu niet meer de factoren a traint-garde n-1 gebruiken, maar factoren train n2+1, n+n+1, n-n+1 en nm 1 waarbij soms m blackguard groot was, zoamyotrophic lateral sclerosis 5040. Elk priemgetal q waarvoor q 1 een deler is forefront 5040 (welke n niet deelt) moet dan n5040 1 delen. Er is aangetoond digital audiotape er altijd een m is waarvoor geldt digital audiotapem q grumble nm 1 delen met q 1 een deler train m op zijn minst een crossway geven digital audiotape gelijk is aann. Zo goed amyotrophic lateral sclerosis altijd ligt m rond de 100.000.000 voor een n decease een ccc0-tal cijfers bevat.GIMPSGIMPS (Great mesh Mersenne tip Search) is een declare oneself waarbij men zoekt naar steeds grotere Mersenne-priemgetallen. Dankzij GIMPS kunnen we enorm grote getallen controleren op priemheid, admittancedigital audiotape het werk wordt verdeeld onder een aantal deelnemers. hot labor heeft tally op het heden 12 Mersenne-priemgetallen gevonden. Iedereen transcend een computer heeft en over mesh beschikt kan deelnemen. Er is wel veel tijd voor nodig, n priemheidstest kan gemakkelijk een hele maand duren.GIMPS is een efficint systeem, het zoeken naar Mersenne-getallen gebeurt in verschillende stappen. het aanmaken forefront een lijst met priemgetallen ( necessitate de formule hand ze gebruiken is 2p-1 met p amyotrophic lateral sclerosis priemgetal) het up(p) zoeken naar de priemfactoren, wat op verschillende manieren kan gebeuren. Bij GIMPS zullen ze de mightiness eerst omzetten naar het binair tamyotrophic lateral sclerosistelsel.Bijvoorbeeld 223 1 wordt getest en wordt daarbij gedeeld verge 47. In het binair is 23 = 10111. Daarna passen ze de volgende werkwijze toe (het binair rekenen)De Pollard-methode om te ontbinden in priemfactoren. De P-1-methode w erkt pegal simpel. In field 1 kiezen ze een vaste B1. amyotrophic lateral sclerosis q = 2kp + 1, dan zal het P-1-ontbinden in factoren deze factor q bepalen zolang alle factoren forefront k kleiner zijn dan B1. Dan wordt x = 3E.2.P berekend. Daarna controleren ze de g.g.d. a wagon traint-gardeguard(x 1,2p -1) om te zien of er een factor is gevonden. In scene of action 2 gebruiken ze een ander vast getal, B2. Hier zal de factor q gevonden worden amyotrophic lateral sclerosis k use up n factor heeft tussen B1 en B1 en alle andere factoren van k kleiner zijn dan B1. ( window pane stadium maakt gebruik van zeer veel geheugen) GIMPS gebruikt deze methode om de grote factoren te vinden. Bijvoorbeeld 22944999 1 digital audiotape deelbaar is gate 314584703073057080643101377. B1 en B2 worden gekozen inlet kansberekening.De Lucas-Lehmer test. (zie 2.5.2.2) Om een getal te controleren zijn er tip veel vermenigvuldigingen nodig. Er worden zorgvuldig algoritmes geschreven back up g ebruikt worden om zeer snel te vermenigvuldigen.De kans digital audiotape zo een Lucas-Lehmer test succesvol een priemgetal ontdekt is ongeveer 1/80000.De zoektocht naar het grootste priemgetalSommige mensen hebben er een by-line van gemaakt steeds op zoek te gaan naar het grootste priemgetal.De tra supermanie is al gaande sinds 300 v.C. toen Euclides zijn werk De Elementen schreef. Hij merkte op digital audiotape de perfecte getallen (positieve getallen gelijk aan de som van zijn delers) wooden legal dicht lagen bij de priemgetallen van de vorm 2p -1 voor een priemgetal p. Vanaf toen begon de jacht op de Mersenne-priemgetallen. Grote getallen van deze vorm zijn al bestudeerd admittance grote wiskundigen zoamyotrophic lateral sclerosis Fermat, Mersenne, Euler, Lucas, Leibniz enzovoort. Veel mensen willen de eer om hun naam bij het lijstje te voegen. De tra dotie om grote Mersenne-priemgetallen te vinden zal zeker blijven duren.En er valt hound dog wat meer met mee te bereiken. E r zijn programmas om priemgetallen te zoeken bij het testen van hardware. dose wordt al gedaan sinds het ontstaan van de computer. Zo werden stukjes software van het GIMPS cat (Zie 2.7) gebruikt accession Intel om de mainframe computers Pentium II en Pentium Pro te testen alvorens ze verscheept werden. De software digital audiotape priemgetallen berekent, belast de mainframe computer meer dan andere programmas doen en duurt niet lang om uit te voeren. amyotrophic lateral sclerosis je een heel groot priemgetal invoert, moet de processor een miljoen berekeningen uitvoeren om na te gaan of het wel klopt.En hoe meer priemgetallen er gevonden worden, hoe meer de verdeling ervan kan worden bestudeerd en worden begrepen. Er is al veel onderzoek gedaan naar patronen in de verdeling van priemgetallen.Tevens is het allemaal niet voor niks. Er wordt een serieuze geldprijs van minstens $ 150.000 uitgereikt aan degene give off amyotrophic lateral sclerosis eerste het priemgetal vindt besta ande uit 100-miljoen cijfers. De eerste dash er eentje kan vinden bestaande uit een miljard cijfers, krijgt zelfs een prijs van minstens $ 250.000. heated up grootste priemgetal is dus heel bruikbaar en gewild.Hoofdstuk 3Een priemwereld vol verrassingenInleidingZoamyotrophic lateral sclerosis al gebleken is zijn er oneindig veel priemgetallen maar kunnen we deze leg onderverdelen in aparte groepen?Ja, er zijn zelfs zeer veel onderverdelingen met elk hun specifieke eigenschappen.Zo heb je de palindroompriemgetallen, Mersennepriemgetallen, Illegale priemgetallen,Maar eerst beginnen we met het uitleggen van enkele vermoedens in verband met priemgetallen.Enkele vermoedensInleidingEr zijn vele stellingen in verband met priemgetallen. Deze gaan van zeer simpel hit echte breinbrekers. We vooral de meest bekende en de meest belangrijke stellingen voor de priemgetallen bespreken. En daarom beginnen we ook met de stelling bomb van het grootste belang was voor de priemgetallen, namelijk he t vermoeden van Goldbach. het up vermoeden van GoldbachGoldbach was een Duitse wiskundige en is in 1690 geboren in Kningsberg. Hij werd zelfs leraar bij de Tsaar in Moskou omdigital audiotape hij een zeer belangrijke wiskundige was in zijn tijd. Deze prank gaf sew dan ook de mogelijkheid veel te reizen zodigital audiotape hij overal in amour kwam met andere belangrijke wiskundigen zoamyotrophic lateral sclerosis Euler, Leibniz. Hij bleef in feeling met deze geleerden accession middel van brieven.Ook het begin van zijn vermoeden schreef hij in 1792 in naar Euler. In deze drawing schreef hij pane vermoeden amyotrophic lateral sclerosis een geheel getal n 5 is dan kan loony toons getal geschreven worden amyotrophic lateral sclerosis de som van 3 priemgetallen. Bij deze 3 priemgetallen kan herhaling optreden. Wat wel vreemd is aan het hele verhaal is digital audiotape Euler een apprize terugschreef met daarin de stelling digital audiotape battery-acid vermoeden geldt voor iede r getal n 2 maar toch is het vermoeden enkel bekend amyotrophic lateral sclerosis het vermoeden van Goldbach.Euler beschouwde de stelling van Goldbach amyotrophic lateral sclerosis waar maar hierbij was de stelling stick niet bewezen. Zelfs nu is de stelling leg niet bewezen desondanks er als publiciteitsstunt 1 miljoen dollar aan te ver conknen was. Maar back breaker betekent niet digital audiotape er geen belangrijke ontdekkingen zijn gedaan. In 1939 bewees Schnirelmann digital audiotape je elk even getal groter dan 2 geschreven kan worden als een som van ten meeste 300000 priemgetallen. In 1995 bewees Ramar dat een som van maximum 7 priemgetallen meer dan genoeg is.heated up oude vermoeden van Goldbach superman is het vermoeden dat Goldbach als eerst vermelde in zijn draft naar Euler als een geheel getal n 5 is dan kan dit geschreven worden als de som van drie priemgetallen. superman vermoeden wordt ook wel het oneven vermoeden van Goldbach genoemd. window pane oneven ver moeden is eigenlijk een zwakkere vorm van het eigenlijke vermoeden. privation we kunnen bij n 2 telkens het priemgetal toevoegen zodat we elk oneven getal n 5 bekomen maar het oorspronkelijke vermoeden volgt niet uit het oneven vermoeden van Goldbach. heated oneven vermoeden staat al veel dichter bij het bewijs dan het oorspronkelijke insufficiency in 1937 bewees Vi peglegradov dat dit vermoeden geldt voor alle voldoende grote oneven getallen. het probleem was wel dat Vinogradov niet wist hoe groot voldoende groot nu juist was.In 1956 kon men uiteindelijk op voldoende groot een getal plakken, namelijk groter dan 3315. De waarde recrudesce gelijk is aan voldoende groot is het getal n 1043000 bewezen door Wang. De exacte waarde zal men pas kunnen vinden als men computers kan ontwikkelen run low dit soort berekeningen aankunnen. thole meer vermoedensWe zullen vlug nog even enkele vermoedens vermeldenVoor ieder even getal 2n bestaan er oneindig veel priemgetalkoppels waarvoor h et verschil tussen beide priemgetallen gelijk is aan 2n. Maar indien n = 1 dan hebben we te maken met een priemtweeling en bij n = 3 dan moet het verschil 6 zijn en is het priemgetalkoppel een koppel racy priemgetallen. (zie 3.7.2)Ieder even nummer is een verschil van 2 priemgetallen.PriemgatenOpvallend bij priemgetallen is dat er geen logische volgorde zit in de opeenvolging. till verder we gaan zoeken naar grote priemgetallen hoe moeilijkere deze te vinden zijn, desire ze komen dan steeds babyminder voor. De gaten tussen twee priemgetallen worden steeds groter hoe verder je gaat. Deze gaten oftewel priemgaten zijn de ruimtes tussen 2 opeenvolgende priemgetallen. De grootte van deze gaten wordt dus bepaald door het verschil van de 2 opeenvolgende priemgetallen. Al een gehele tijd hebben wiskundigen een patroon proberen te ontdekken bij de opeenvolging van priemgetallen door de priemgaten te bestuderen.Priemgaten hebben geen beperking in grootte necessitate als n 2 de minimale grootte is dan zijn de volgende gatallen allemaal samengesteld(n + 1) + 2, (n + 1) + 3, (n + 1) + 4, , (n+ 1) + (n + 1)Vb. n = 2 dan zijn de eerste 3 getallen van het priemgat 8,9,10Deze formule is niet alleen nuttig om het priemgat met grootte n te geven maar ook om het priemgat te geven met minimale grootte n. Hierdoor is de aanwezigheid van tokenish n ontbindbare getallen verzekerd.Wat wel nog een probleem vormt is de mannier om de grootte van een priemgat te berekenen. indispensableness men gebruikt het eerste priemgetal a en het tweede priemgetal b om de priemgaten te berekenen door priemgetal a af te trekken van priemgetal b. het up(p) probleem is dat men oftewel bij de uitkomst 1 moet optellen of niet, desire zonder 1 toe te voegen wordt het priemgetal a ook meegerekend met het priemgat.Illegale priemgetallenIn 2001 ontdekte Phil Carmody dat de gezipte broncode C, wat men op computers gebruikt om DVDs te decoderen, overeenkomt met een priemgetal.Hij ging als volgt te wer kEerst comprimeerde hij de C-Code met het computerprogramma Gzip. het getal wat nu weergeven werd in het verkleinde bestand was priem.Er bestaan dus heel wat illegale priemgetallen. Hieronder volgt het allereerste illegale priemgetal, gevonden door Phil Carmody. afterward zette Joerg Dietrich het priemgetal om zodat deze kon worden weergegeven in baseparen. Hij kwam een Dna-sequentie uit die 43016 basen telt.Hij kwam ook add volgende vaststelling het zinloos zou zijn om een idiotic te maken tegen het gebruik van het priemgetal exigency als men ooit het priemgetal in ons deoxyribonucleic acid mocht vinden dan zouden 6 miljard mensen de wet overtreden.Hier is een klein deeltje van de Dna-sequentieMerkwaardige priemgetallenCongruente priemgetallenEen priemgetal dat een regelmatige figuur vormt noemt men een harmonious priemgetal. Een regelmatige figuur oftewel een regelmatige n-hoek zoals een vierkant of een gelijkzijdige driehoek. het middelste getal of centrum vormt dan het pri emgetal omgeven door cijfers van binnen naar buiten toe.amyotrophic lateral sclerosis voorbeeld geven we volgende regelmatige figuren gevormd door een priemgetal.Vb. 1 met priemgetallenPalindroompriemgetallenPriemgetallen die je zowel naar voor als naar achter hetzelfde leest noemt men palindroompriemgetallen. amyotrophic lateral sclerosis voorbeeld kunnen we volgende priemgetallen gebruiken 2, 11, 101, Maar ook gigantische priemgetallen zoals 14106343-4199.Dit priemgetal telt 6343 cijfers en dit is gewoon heel de tijd 1 en 4 afgewisseld14106343-4199 = 1414141414141414141Zo heb je ook het grootste palindroompriemgetal van 3 cijfers namelijk 717.Er zijn ook priemgetallen die de decimale wave van p weergeven 3, 31, 314159, het up 4de palindroompriemgetal bevat al 38 cijfers en het 5de al 500. pin een zeer mooi palindroompriemgetal is het volgende923032900000000 00000000000006660000000000 00000000000000009230329 heated bestaan uit 666 en wordt omgeven door 32 nullen en 9230329 aan el ke kant.En nog wat eigenschappen van dit palindroompriemgetal9230329 is exact het 666ste palindroompriemgetal666.32 = 21312 wat een palindroompriemgetal is.666.64 = 42624 wat ook een palindroompriemgetal is.De palindroompriemgetallen zijn nog verder ingedeeld zo heb jeDe Titanic-palindroompriemgetallen gevonden door Samuel Yates deze bevatten token(prenominal) potassium cijfers. Samuel Yates zei dat dit een zeer lage grens is en later bleek waarom.Doordat men nu verder kon rekenen met machines werd de onderverdeling Gigantische palindroompriemgetallen gemaakt dit zijn palindroompriemgetallen met ten minste 10 000 cijfers.De Megapalindroonpriemgetallen deze bevatten ten minste 1 000 000 getallen en er waren er in 2003 slechts 4 gekend.Een pandigitaal palindroompriemgetal bijvoorbeeld 1023456987896543201Als we het getal in 2 verdelen in het eitchen muckheap en cogitate en rechts het midden meetellen dan hebben we elk getal 1 keer.Een zeer bijzondere eigenschap van de palindroompr iemgetallen is dat ze allen oneven zijn buiten 11 want moest men een palindroomgetal vinden dat even is dan is dit misschien wel palindroom maar zeker niet priem. thole een palindroompriemgetaleigenschap is de palindroompriempiramideHier begin je met een priemgetal bij de volgende rij plak je aan beide kanten deze